[백준] 1865번 웜홀 C++ 풀이

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알고리즘 분류

• 그래프 이론
• 최단 경로
• 밸만-포드

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문제 설명

때는 2020년, 백준이는 월드나라의 한 국민이다. 월드나라에는 N개의 지점이 있고 N개의 지점 사이에는 M개의 도로와 W개의 웜홀이 있다. (단 도로는 방향이 없으며 웜홀은 방향이 있다.) 웜홀은 시작 위치에서 도착 위치로 가는 하나의 경로인데, 특이하게도 도착을 하게 되면 시작을 하였을 때보다 시간이 뒤로 가게 된다. 웜홀 내에서는 시계가 거꾸로 간다고 생각하여도 좋다.

시간 여행을 매우 좋아하는 백준이는 한 가지 궁금증에 빠졌다. 한 지점에서 출발을 하여서 시간여행을 하기 시작하여 다시 출발을 하였던 위치로 돌아왔을 때, 출발을 하였을 때보다 시간이 되돌아가 있는 경우가 있는지 없는지 궁금해졌다. 여러분은 백준이를 도와 이런 일이 가능한지 불가능한지 구하는 프로그램을 작성하여라.

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입력 설명

첫 번째 줄에는 테스트케이스의 개수 TC(1 ≤ TC ≤ 5)가 주어진다. 그리고 두 번째 줄부터 TC개의 테스트케이스가 차례로 주어지는데 각 테스트케이스의 첫 번째 줄에는 지점의 수 N(1 ≤ N ≤ 500), 도로의 개수 M(1 ≤ M ≤ 2500), 웜홀의 개수 W(1 ≤ W ≤ 200)이 주어진다. 그리고 두 번째 줄부터 M+1번째 줄에 도로의 정보가 주어지는데 각 도로의 정보는 S, E, T 세 정수로 주어진다. S와 E는 연결된 지점의 번호, T는 이 도로를 통해 이동하는 데 걸리는 시간을 의미한다. 그리고 M+2번째 줄부터 M+W+1번째 줄까지 웜홀의 정보가 S, E, T 세 정수로 주어지는데 S는 시작 지점, E는 도착 지점, T는 줄어드는 시간을 의미한다. T는 10,000보다 작거나 같은 자연수 또는 0이다.

두 지점을 연결하는 도로가 한 개보다 많을 수도 있다. 지점의 번호는 1부터 N까지 자연수로 중복 없이 매겨져 있다.

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출력 설명

TC개의 줄에 걸쳐서 만약에 시간이 줄어들면서 출발 위치로 돌아오는 것이 가능하면 YES, 불가능하면 NO를 출력한다.

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예제 입력

2
3 3 1
1 2 2
1 3 4
2 3 1
3 1 3
3 2 1
1 2 3
2 3 4
3 1 8

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예제 출력

NO
YES

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아이디어

음의 가중치를 가지는 간선이 존재하므로 다익스트라 알고리즘으로는 해결이 어렵다.

따라서 음의 가중치를 가지는 간선이 존재하는 그래프에서 음의 사이클을 찾을 수 있는 밸만-포드 알고리즘을 사용한다.

1회의 반복은 다음과 같다. 존재하는 모든 간선의 시작점의 거리와 가중치의 합이 도착점의 거리보다 작다면 도착점의 거리를 업데이트한다. 이를 n-1회 반복한다.

이후 1회 더 반복하며 모든 정점의 거리에서 변화가 있는지 판단한다. 변화가 존재한다면 이는 음의 사이클이 존재한다는 의미이다. 이 문제는 음의 사이클이 존재하는지를 판별하는 문제이므로 존재하면 YES 아니라면 NO를 출력한다.

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알고리즘

밸만-포드 알고리즘을 사용하여 모든 간선에서의 업데이트를 n-1회 반복 후 한 번 더 반복하는 도중에 정점의 거리에 변화가 생기는지를 파악한다.

주의점 1. 기존의 밸만-포드 알고리즘에서는 업데이트되지 않은 정점을 초깃값을 Infinity로 보고 Infinity보다 작으면서 시작 정점이 Infinity가 아닐 때에만 업데이트를 해주었지만 이 문제에서는 시장 정점의 상태와는 무관하게 시작 정점의 거리 + 가중치가 도착 정점의 거리보다 작다면 업데이트를 진행한다.

 

주의점 2. 이론적인 밸만-포드에서처럼 모든 정점의 초깃값을 Infinity로 하겠다고 INT_MAX 같은 값을 넣다가 overflow가 될 수 있기 때문에 적당히 큰 값으로 초기화해줘야 한다.

 

주의점 3. 도로는 양방향 간선이고 웜홀은 단방향 간선이므로 초기화 시에 도로는 S -> E와 E -> S를 모두 +T로 입력해줘야 하고 웜홀은 단방향 간선이면서 음의 가중치를 가지기 때문에 S -> E이면서 -T로 입력해줘야 한다.

 

주의점 4. 무조건 1번 정점에서 시작하는 게 아니기 때문에 시작할 때 밸만-포드처럼 1번 정점을 0으로 초기화해서는 안 된다.

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코드

#include <iostream>
#include <vector>
#include <tuple>
using namespace std;
pair<vector<tuple<int,int,int>>,int> init()
{
	int n,m,w,s,e,t; cin>>n>>m>>w;
	vector<tuple<int,int,int>> edges;
	for(int i=0; i<m; i++)
	{
		cin>>s>>e>>t;
		edges.push_back(make_tuple(s,e,t));
		edges.push_back(make_tuple(e,s,t));
	}
	for(int i=0; i<w; i++)
	{
		cin>>s>>e>>t;
		edges.push_back(make_tuple(s,e,-t));
	}
	return {edges, n};
}
void refresh(int n, vector<tuple<int,int,int>> &edges, vector<int> &nodes)
{
	for(int i=1; i<n; i++)
	{
		for(auto &a : edges)
		{
			int sorc = get<0>(a), dest = get<1>(a), weight = get<2>(a);
			if(nodes[sorc] + weight < nodes[dest]) nodes[dest] = nodes[sorc] + weight;
		}
	}
}
void check(vector<tuple<int,int,int>> &edges, vector<int> &nodes)
{
	for(auto &a : edges)
	{
		int sorc = get<0>(a), dest = get<1>(a), weight = get<2>(a);
		if(nodes[sorc] + weight < nodes[dest])
		{
			cout<<"YES\n";
			return;
		}
	}
	cout<<"NO\n";
}
int main()
{
	int TC;
	cin>>TC;
	while(TC--)
	{
		pair<vector<tuple<int,int,int>>, int> p = init();
		vector<int> nodes(p.second+1,100000);
		vector<tuple<int,int,int>> edges = p.first;
		refresh(p.second, edges, nodes);
		check(edges, nodes);
	}
	return 0;
}

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후기

문제 링크 -> https://www.acmicpc.net/problem/1865

이 문제를 풀면서 처음에 가장 헷갈렸던 점이 1번 정점에서 시작하는지 여부였다.

문제를 잘 읽어보니 어느 정점에서 시작하더라도 상관없었다. 그래서 1번 정점을 초기화하는 코드를 지웠다.

두 번째로 헷갈렸던 점은 왜 음의 사이클을 발견하기만 해도 바로 YES를 출력하고 종료하는가였다.

문제에서는 시작한 정점에서 시간이 -인 상태로 다시 시작한 정점으로 돌아올 수 있는가를 물었기 때문이다.

그래서 나는 시작한 정점으로 다시 돌아오지 못하는 모양의 그래프라면 음의 사이클이 있더라도 무의미한 것이 아닌가 생각했다. 하지만 이는 틀렸다. 음의 사이클이 존재한다는 이야기는 그래프 중 어느 구간에서 계속 반복해서 시간을 줄여서 결국 마이너스 시간으로 만들 수 있다는 이야기이므로 해당 음의 사이클 구간에서 아무 곳이나 시작 정점으로 잡으면 되기 때문이다. 이 문제를 해결하는데 일주일이 걸렸다... 그래도 잘 풀어서 다행이다.

참고로 나중에는 이론상 맞는데 왜 틀렸지... 하면서 찾다가 YES, NO를 출력해야 하는데 Yes, No를 출력해서 틀렸다는 것을 발견해서 허무했다.

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